Uji Kebenaran Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat dengan Kekongruenan Modulo 9


Oleh A Halim Fathani Yahya

A. Kekongruenan Modulo 9
Salah satu penerapan kekongruenan modulo 9 adalah dapat digunakan untuk menguji kebenaran terhadap operasi aritmetika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada bilangan bulat. Perhatikan penjelasan berikut ini!
10.000 – 1 = 9.999 = 9k1 sehingga 10.000 ≡ 1 (mod 9)
1000 – 1 = 999 = 9k2 sehingga 1000 ≡ 1 (mod 9)
100 – 1 = 99 = 9k1 sehingga 100 ≡ 1 (mod 9)
10 – 1 = 9 = 9k1 sehingga 10 ≡ 1 (mod 9)
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.
Contoh:
12345 ≡ 10000 + 2000 + 300 + 40 + 5 (mod 9)
12345 ≡ 1(10000)+ 2(1000) + 3(100) + 4(10) + 5 (mod 9)
12345 ≡ 1(1) + 2(1) + 3(1) + 4(1) + 5 (mod 9)
12345 ≡ 15 (mod 9)
selanjutnya dengan cara yang sama
15 ≡ 10 + 5 (mod 9)
15 ≡ 1 + 5 (mod 9)
15 ≡ 6 (mod 9)
Jadi 12345 ≡ 6 (mod 9)

Berdasarkan penjelasan yang telah diuraikan di atas, maka dapat diturunkan menjadi teorema berikut:
Teorema I :
10n ≡ 1 (mod 9), untuk setiap n = 1, 2, 3, …
Bukti :
10n – 1 = 999 … 9 (sebanyak n kali, dengan syarat semua angkanya 9)
10n = 999 … 9 + 1
10n = 1 (mod 9)

Teorema II :
“Setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya”.
Bukti :
Ambil sebarang bilangan bulat n dan angka-angkanya secara berurutan:
dk dk-1 dk-2 dk-3 dk-4 dk-5 … d5 d4 d3 d2 d1 d0 ; dan
n = dk10k + dk-110k-1 + dk-210k-2 + dk-310k-3 + … + d3103 + d2102 + d110 + d0
menurut teorema I,
10n ≡ 1 (mod 9), untuk setiap n = 1, 2, 3, …
sehingga
n ≡ dk10k + dk-110k-1 + dk-210k-2 + dk-310k-3 + … + d3103 + d2102 + d110 + d0
Jadi bilangan bulat n kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.

C. Pengujian Kebenaran Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat dengan Menggunakan Penerapan Kekongruenan Modulo 9

(a) Penjumlahan

Untuk menguji kebenaran suatu penjumlahan pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan teorema berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c adalah bilangan bulat dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka a + c ≡ b + d (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
sehingga (a + c) – (b + d) = (t + t )m atau a + c ≡ b + d (mod m)
Contoh:
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872
12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)
67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)
24680 ≡ 2 + 4 + 6 + 8 + 0 (mod 9)
≡ 20 (mod 9)
≡ 11 (mod 9)
≡ 2 (mod 9)
13579 ≡ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 (mod 9)
≡ 25 (mod 9)
≡ 16 (mod 9)
≡ 7 (mod 9)
12378 ≡ 1 + 2 + 3 + 7 + 8 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 ≡ 6 + 3 + 2 + 7 + 3 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) …….. (i)
sedangkan 130872 ≡ 1 + 3 + 0 + 8 + 7 + 2 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..(ii)
Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872
(teruji kebenarannya)
(b) Pengurangan

Untuk menguji kebenaran suatu pengurangan pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan prinsip berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c adalah bilangan bulat dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka a – c ≡ b – d (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
sehingga (a – c) – (b – d) = (t – t )m atau a – c ≡ b – d (mod m)
Contoh:
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872

12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

24680 ≡ 2 + 4 + 6 + 8 + 0 (mod 9)
≡ 20 (mod 9)
≡ 11 (mod 9)
≡ 2 (mod 9)

13579 ≡ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 (mod 9)
≡ 25 (mod 9)
≡ 16 (mod 9)
≡ 7 (mod 9)

12378 ≡ 1 + 2 + 3 + 7 + 8 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 ≡ 6 + 3 + 2 + 7 + 3 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) …….. (i)
sedangkan 130872 ≡ 1 + 3 + 0 + 8 + 7 + 2 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..(ii)
Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872
teruji kebenarannya
(C) Perkalian

Untuk menguji kebenaran suatu perkalian pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan teorema berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c, d, dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka ac ≡ bd (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
(a-b)c = (t m)c
ac-bc = (t c)m ……………… (i)
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
(c-d)b = (t m)b
cb-db = (t b)m ……………… (ii)
Dari (i) dan (ii) dijumlahkan sehingga akan menghasilkan:
ac – bc = (t c)m
cb-db = (t b)m +
ac –bd = (t c + t b)m atau ac ≡ bd (mod m)
Contoh:
12345 x 67890 = 83810250

12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 x 67890 ≡ 6 x 3 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 0 (mod 9) ………………………….. (i)
sedangkan 83810250 ≡ 8 + 3 + 8 + 1 + 0 + 2 + 5 + 0 (mod 9)
≡ 27 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..………..(ii)
Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 x 67890 = 83810250
(teruji kebenarannya)
(d) Pembagian
Untuk menguji kebenaran suatu perkalian pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan teorema berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c, d, dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka ≡ (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
=
– =
ac – bc = c ……………………… (i)
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
=
– =
cb – db = b ……………………… (ii)

Dari (i) dan (ii) dijumlahkan sehingga akan menghasilkan:
ac – bc = c
cb – db = b +
ac –bd = (t c + t b )m atau ac ≡ bd (mod m)

Contoh:
12345 x 67890 = 83810250

12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 x 67890 ≡ 6 x 3 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 0 (mod 9) ………………………….. (i)

sedangkan 83810250 ≡ 8 + 3 + 8 + 1 + 0 + 2 + 5 + 0 (mod 9)
≡ 27 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..………..(ii)

Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 x 67890 = 83810250
(teruji kebenarannya)

Daftar Pustaka

Sukirman, 1986. Ilmu Bilangan. Jakarta: Penerbit Karunika Universitas Terbuka.
Muhsetyo, Gatot. 1985. Pengantar Ilmu Bilangan. Surabaya: Penerbit Sinar Wijaya

Iklan

Perihal masthoni
Pengamat Pendidikan. Menempuh pendidikan program sarjana di Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang, pada program studi Matematika (lulus 2006). Kemudian melanjutkan studi Program Magister Universitas Negeri Malang, pada program studi Pendidikan Matematika (lulus 2011). Aktivitas sehari-hari yang ditekuni -di samping mengajar matematika di Universitas Islam Malang- adalah membuat tulisan yang kemudian dikirimkan ke pelbagai media massa/media online maupun yang diterbitkan dalam bentuk buku. Di samping itu, ia juga aktif menjadi Editor Buku.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s