Uji Kebenaran Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat dengan Kekongruenan Modulo 9


Oleh A Halim Fathani Yahya

A. Kekongruenan Modulo 9
Salah satu penerapan kekongruenan modulo 9 adalah dapat digunakan untuk menguji kebenaran terhadap operasi aritmetika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada bilangan bulat. Perhatikan penjelasan berikut ini!
10.000 – 1 = 9.999 = 9k1 sehingga 10.000 ≡ 1 (mod 9)
1000 – 1 = 999 = 9k2 sehingga 1000 ≡ 1 (mod 9)
100 – 1 = 99 = 9k1 sehingga 100 ≡ 1 (mod 9)
10 – 1 = 9 = 9k1 sehingga 10 ≡ 1 (mod 9)
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.
Contoh:
12345 ≡ 10000 + 2000 + 300 + 40 + 5 (mod 9)
12345 ≡ 1(10000)+ 2(1000) + 3(100) + 4(10) + 5 (mod 9)
12345 ≡ 1(1) + 2(1) + 3(1) + 4(1) + 5 (mod 9)
12345 ≡ 15 (mod 9)
selanjutnya dengan cara yang sama
15 ≡ 10 + 5 (mod 9)
15 ≡ 1 + 5 (mod 9)
15 ≡ 6 (mod 9)
Jadi 12345 ≡ 6 (mod 9)

Berdasarkan penjelasan yang telah diuraikan di atas, maka dapat diturunkan menjadi teorema berikut:
Teorema I :
10n ≡ 1 (mod 9), untuk setiap n = 1, 2, 3, …
Bukti :
10n – 1 = 999 … 9 (sebanyak n kali, dengan syarat semua angkanya 9)
10n = 999 … 9 + 1
10n = 1 (mod 9)

Teorema II :
“Setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya”.
Bukti :
Ambil sebarang bilangan bulat n dan angka-angkanya secara berurutan:
dk dk-1 dk-2 dk-3 dk-4 dk-5 … d5 d4 d3 d2 d1 d0 ; dan
n = dk10k + dk-110k-1 + dk-210k-2 + dk-310k-3 + … + d3103 + d2102 + d110 + d0
menurut teorema I,
10n ≡ 1 (mod 9), untuk setiap n = 1, 2, 3, …
sehingga
n ≡ dk10k + dk-110k-1 + dk-210k-2 + dk-310k-3 + … + d3103 + d2102 + d110 + d0
Jadi bilangan bulat n kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.

C. Pengujian Kebenaran Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat dengan Menggunakan Penerapan Kekongruenan Modulo 9

(a) Penjumlahan

Untuk menguji kebenaran suatu penjumlahan pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan teorema berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c adalah bilangan bulat dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka a + c ≡ b + d (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
sehingga (a + c) – (b + d) = (t + t )m atau a + c ≡ b + d (mod m)
Contoh:
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872
12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)
67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)
24680 ≡ 2 + 4 + 6 + 8 + 0 (mod 9)
≡ 20 (mod 9)
≡ 11 (mod 9)
≡ 2 (mod 9)
13579 ≡ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 (mod 9)
≡ 25 (mod 9)
≡ 16 (mod 9)
≡ 7 (mod 9)
12378 ≡ 1 + 2 + 3 + 7 + 8 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 ≡ 6 + 3 + 2 + 7 + 3 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) …….. (i)
sedangkan 130872 ≡ 1 + 3 + 0 + 8 + 7 + 2 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..(ii)
Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872
(teruji kebenarannya)
(b) Pengurangan

Untuk menguji kebenaran suatu pengurangan pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan prinsip berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c adalah bilangan bulat dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka a – c ≡ b – d (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
sehingga (a – c) – (b – d) = (t – t )m atau a – c ≡ b – d (mod m)
Contoh:
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872

12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

24680 ≡ 2 + 4 + 6 + 8 + 0 (mod 9)
≡ 20 (mod 9)
≡ 11 (mod 9)
≡ 2 (mod 9)

13579 ≡ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 (mod 9)
≡ 25 (mod 9)
≡ 16 (mod 9)
≡ 7 (mod 9)

12378 ≡ 1 + 2 + 3 + 7 + 8 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 ≡ 6 + 3 + 2 + 7 + 3 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) …….. (i)
sedangkan 130872 ≡ 1 + 3 + 0 + 8 + 7 + 2 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..(ii)
Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872
teruji kebenarannya
(C) Perkalian

Untuk menguji kebenaran suatu perkalian pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan teorema berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c, d, dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka ac ≡ bd (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
(a-b)c = (t m)c
ac-bc = (t c)m ……………… (i)
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
(c-d)b = (t m)b
cb-db = (t b)m ……………… (ii)
Dari (i) dan (ii) dijumlahkan sehingga akan menghasilkan:
ac – bc = (t c)m
cb-db = (t b)m +
ac –bd = (t c + t b)m atau ac ≡ bd (mod m)
Contoh:
12345 x 67890 = 83810250

12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 x 67890 ≡ 6 x 3 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 0 (mod 9) ………………………….. (i)
sedangkan 83810250 ≡ 8 + 3 + 8 + 1 + 0 + 2 + 5 + 0 (mod 9)
≡ 27 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..………..(ii)
Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 x 67890 = 83810250
(teruji kebenarannya)
(d) Pembagian
Untuk menguji kebenaran suatu perkalian pada bilangan bulat dengan kekongruenan modulo 9, perhatikan teorema berikut ini.
Teorema:
Andaikan a, b, c, d, dan m bilangan asli.
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka ≡ (mod m)
Bukti:
a ≡ b (mod m) berarti m │a-b
c ≡ d (mod m) berarti m │c-d
selanjutnya,
m │a-b dapat dinyatakan a-b = t m
=
– =
ac – bc = c ……………………… (i)
m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m
=
– =
cb – db = b ……………………… (ii)

Dari (i) dan (ii) dijumlahkan sehingga akan menghasilkan:
ac – bc = c
cb – db = b +
ac –bd = (t c + t b )m atau ac ≡ bd (mod m)

Contoh:
12345 x 67890 = 83810250

12345 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 9)
≡ 15 (mod 9)
≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6 + 7 + 8 + 9 + 0 (mod 9)
≡ 30 (mod 9)
≡ 21 (mod 9)
≡ 12 (mod 9)
≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345 x 67890 ≡ 6 x 3 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 0 (mod 9) ………………………….. (i)

sedangkan 83810250 ≡ 8 + 3 + 8 + 1 + 0 + 2 + 5 + 0 (mod 9)
≡ 27 (mod 9)
≡ 18 (mod 9)
≡ 9 (mod 9)
≡ 3 (mod 9) ………………..………..(ii)

Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka
12345 x 67890 = 83810250
(teruji kebenarannya)

Daftar Pustaka

Sukirman, 1986. Ilmu Bilangan. Jakarta: Penerbit Karunika Universitas Terbuka.
Muhsetyo, Gatot. 1985. Pengantar Ilmu Bilangan. Surabaya: Penerbit Sinar Wijaya

Perihal masthoni
Alumni Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Malang

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s